黃玉米 - Mr. Corn 觀點雜記

看到這個新聞內容，真的讓我對台灣教育十分寒心，連教育界都用情緒來做教學的基底，已知科學學術上的正確還要靠投票來決定嗎？在絕大部份的一般狀況下，大家會投票 1+1 是不是等於 2 嗎？

這一切都是從 6÷2(1+2) = ? 這個問題開始的！

網路上五花八門的解釋，各家媒體的亂解讀與亂找人背書，讓這個題目的答案成為一種鬧劇！

接下來就針對這個題目的本質來一步一步拆解，它的答案只有一個，叫做數字裡的「1」，不是「9」！到底為什麼我敢挑戰媒體或權威？不為什麼，我不是挑戰他們！而是數學這個工具本來就是有個嚴謹的態度與內容的！ (這句經思考後應該要有所保留，因為純數與代數之間是否能夠將所有運算規則互為通用，目前眾說紛云，雖然我認為代數的運算法則能用於純數裡，但這部份對我來說，立論基礎是薄弱的。所以別寫得那麼堅決才好 XD 哈哈。後續的補完會有最完整的思考邏輯。)
-- update 2011-05-07 --



=== 四則運算的邏輯？ 先乘除後加減錯了嗎？ ===

說明裡提到一堆先乘除後加減，然後再來就是算式是從左算至右的邏輯概念，把這個怪題目 6÷2(1+2) = ? 的答案導向 9 這個數字。

其推導 (推倒) 邏輯過程如下： (我刻意在邏輯式裡不使用 ∵ ∴ 這種因為、所以的數學符號，以免造成沒學過、或忘記的朋友又再痛苦一次 = = )


6÷2(1+2) = ?

因為 1+2 = 3

所以
 
   6÷2(1+2)
= 6÷2(3)
= 6÷2×3
= 3×3
= 9

我要說這裡的推論是完全荒謬的推論！為什麼？

A. 首先，這題型並不是四則運算的題目！四則運算裡面「加減乘除 / +-×÷」沒有一個「數學符號」是可以被省略的！
B. 先乘除後加減，是用在有完整「數學符號」與「算子」的算式裡！不是用在這種裝成一般四則運算的代數題目裡！
C. 本來沒有的東西，請不要自己很自然的把它加上去好嗎？例如推導第三行裡的 乘號 。


我們來分析一下哪裡發生問題：

   6÷2(1+2)
= 6÷2(3)       .......... 這裡還沒出問題
= 6÷2×3       .......... 就是這沒事加上個 × 乘號！讓整個式子邏輯變了樣！為什麼？第二段的論述再詳細告訴你！
= 3×3
= 9


會這樣想的人全是一襄情願地相信教科書裡面寫的「算式要從左算到右」、但是要「先乘除後加減」這種簡單的四則運算邏輯！

但這裡面有東西超出了「先乘除後加減」的邏輯概念了！實實在在地超出了！



=== 把(1+2)當成代數看，錯了嗎？ ===


6÷2(1+2) = ?

其中最有爭議的就在 2(1+2) 這裡！大家仔細看看，這些數字與符號的組合裡，有「乘」這個東西嗎？沒有嘛！既然沒有，那麼它已經跨足到代數的領域了！為什麼？

因為只有在代數裡才會出現沒有「乘號」的組合加乘概念！例如：2X, 5Y, 6甲, 12α .............. 舉例舉不完啦！

代數前面的東西，叫作「係數」！不單單是純數字的概念！沒有人會把 【 2Z 】 在算式裡刻意寫成 【 2×Z 】！這兩個東西的概念完全不同，雖然在這裡的簡單運算裡結果是相同的，但在加上其他的運算條件時，就可看出它們的不同之處！

既然如此，6÷2(1+2) = ? 的推導應該如下：

   6÷2(1+2)
= 6÷2(3)
= 6÷6
= 1

上面推導的內容， 還是有很多人覺得 2(3) 這裡很不負責任吧？沒關係！我們把 2(1+2) 這裡的「係數」給拉進「代數」裡運算！

   6÷2(1+2)
= 6÷(2+4)
= 6÷6
= 1


答案是一！

而且我百分之百確定，答案九的支持者看到現在都還是相信這個算出答案是1的過程是錯的！

先別急！接下來才是重頭戲！




=== 還原題目的代數真面貌 ===


既然談到代數，我們就真的用代數來還原這個題目的真面貌！


設 X=Y=1+2  【這裡故意多設一個 Y 來做為比較，後面會用到】

原題目 6÷2(1+2) 則要改寫成

6÷2X = ? 或者 6÷2Y = ?


先來個正常的題型。


題目A
X=Y=1+2
6÷2X = ?

因為  X = 1+2 = 3

所以

   2X
= 2×3
= 6

所以

   6÷2X
= 6÷6
= 1


到這裡應該沒有人會說運算有問題吧？


再來用算出九這個答案的邏輯來運算一次！

題目B
X=Y=1+2
6÷2Y = ?


   6÷2Y
= 6÷2(1+2)
= 6÷2×(1+2)
= 6÷2×3
=   3  x3
= 9


X=Y=1+2
竟然 6÷2X 不等於 6÷2Y ? 怎麼可能！

事實是：「沒這回事！！！！題目B裡算的是錯的！！！！」

前一段落已經說過算式第三行出現了「多加個乘號」的過程是有問題的，但這裡還是刻意用這樣的邏輯做下去，當然得到答案會是九！

很明顯題目B裡算的答案是錯的！所以推論出來的【X=Y 但 6÷2X 不等於 6÷2Y】也是百分之百錯誤啦！





=== 事實的真相 ===


6÷2(1+2) = ?  這個題目透過代數方法解析的答案就是 "1"，別再投什麼票了！



如果 6÷2(1+2) = ? 的題目出在小學的四則運算裡，題目本身沒有錯！是老師亂來！根本還沒學過代數！最好是懂得如何看待裡面的 2(1+2) 這種怪東西！前面解釋過了！ 2(1+2) 概念上不完全等於 2×(1+2) ，更特別這種東西在整串式子裡的時候！

如果 6÷2(1+2) = ? 的題目出在一般大眾的問題裡，回答的答案再硬要說是九。那麼應該怪國中老師沒有好好地把「代數」這個東西印在腦子裡，讓我們數學程度只有小學的四則運算可以使用！


從這樣的問題裡，教育部說對了！該為台灣的數學教育擔心了！該擔心的不是學不好的這群人！而是為什麼把我們教成這樣子？還可以討論六年級以前的都回答"1"，六年級以後的都回答"9"！

再來！記者為什麼只報導有老師說 "9" 才是正確答案呢？我合理的懷疑記者自己就是算九！所以把回答 "1" 的老師通通忽略了！或者是記者的運氣真的好到每個老師都說 "9" 是正確答案，更漂亮的是還有老師說題目有問題！丟了一顆煙霧彈下來。讓整個數學問題上綱至情感問題！



現在，我們再來解答一次 6÷2(1+2) = ?

你的答案現在會是多少？我仍然相信，回答 "9" 的人們還是有不少人堅持著老師說的「先乘除後加減」「由左算至右」算出來的九是對的！但我更相信，有一些人已經瞭解「數學符號」是不能憑空亂加，造成整個式子的邏輯錯亂！也學會了「代數」中很重要的「係數」概念，「係數」的運算次序是優先於四則運算的！





=== 本質的思考 === update on 2011-05-07

回到問題本身，這又是另外一個討論層級。

6÷2(1+2) = ?

最大的問題爭論點就出在 2(3) 或 2(1+2) 這裡.....

它們全長得像純數字，可是為什麼穿著代數的外衣呢？ XD

6÷2(1+2) = ?

我們可以相信它是完全的純數計算，用第一段推論得出9。
但也可以相信它是支持代數的系統，用第二段推論得出1。


事實上在純數字的運算世界裡，印象中還沒遇過 2(1+2) 這種東西，而且運算子怎麼在純數世界被省略掉了？這原因我也不明白；而在代數的運算世界裡，也幾乎沒有看過 2(1+2) 這種東西的印象，如果變成 2(1+P) 這樣還比較常看見，但若以代數的運算邏輯來看，就會導出我把所有數字看成代數的邏輯推論來。

2(1+2) 在純數裡的表達示是有問題的 (乘號真的可以省略？我在國小的學習裡面沒有學過，也沒有印象，而小學也沒有學過係數，我是小學生的話還真不知道該怎麼解決。只會跟老師說題目有問題)，但它是否該延用在代數裡的計算邏輯，這點就是目前沒有任何立論基礎的地方。

回到整個問題的本質來看，我們該爭論的不是這題目的答案是 1 還是 9，該爭論的是以後出現 2(1+2) 這種東西，通則上 (在純數與代數領與裡的共同原則) 應該如何處理。(註：這篇即可瞥見我處理的邏輯與方式：用代數的思維解題。)


不管你是站在哪個答案的立場上，會去深入研究的態度是好的，但是只憑著情緒來看待科學語言，有時候是很危險的一件事。







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=== 延伸閱讀 ===

6÷2(1+2)=? 百萬人錯答「1」 臉書吸342萬人 - 蘋果日報

原問題 6÷2(1+2) = ?



















=== 後記：艱難的數學謬誤 === 

(對數學沒興趣的這段可以跳過啦，但是以上真的還有疑問的話，還是得花點耐心看一下喔！)


再更深入討論代數好玩的地方，為什麼 6÷2X 的 2X 要先算完呢？因為這裡面的 2 是「係數」，必需緊緊跟著「代數」跑的，在算式還沒結束代入數值之前，都不應該與「代數」以外的「純數」或「其他代數」發生關係！

如果今天條件改成 X=Y=A+B 的時候，整個就更為明顯了！ 6÷2X 的 2X 在式子裡不能直接寫成 2×X，意義是不同的。硬要寫成 2×X 的話，千萬一定要幫它穿上衣服變成 (2×X)，這是將係數的概念勉強利用四則運算與括號內先算的概念表現出來。

X=Y=A+B , A=1, B=2

   6÷2X
= 6÷2(A+B)
= 6÷(2A+2B)

我們先不急著把 A 和 B 代進式子算答案。
在式子當中 2 這個「係數」，是緊緊跟著「代數」跑的，所以它在代數算出來之前不能和其它數字有所作用。不然就會出現以下謬誤。

   6÷2X
= 6÷2(A+B)
= 6÷2×(A+B)
= 3(A+B)
= 3X

這時答案會是 3X = 3(A+B) = 3(1+2) =9

但從 6÷2X = 3X 的算式來解析，如果繼續套用算出九邏輯中的算式「由左自右運算」與「自動補上乘號(乘號是被省略的概念)」，這時候式子就會轉變為 (6÷2) × X = 3X  [這裡已經出問題了!!]，等號左右的X消去後 (X不能為零)，變成 3 = 3，算式的結果變成 X 可以為任意值。既然 X = A+B = 1+2 = 3 又怎麼同時可以等於任意一個數字呢？既然 X 能夠為任意值， 3X 就不會有固定的答案！所以答案不可能是 9 這個單一數字。於是在這裡就可以看出邏輯上產生的謬誤。



而再回到 6÷2X = 3X 這原本該有的代數邏輯來運算，

兩邊同乘以 2X，得到
6 =  6 X^2

再將兩邊同除以 6 ，得到
1 = X^2

最後得到答案 X = 1 or (-1) ！

原本設定的式子為 X=A+B=1+2=3 ！又出現了數理邏輯上的謬誤！求出的X值竟然不等於原先設定的值！

這時候我也只能推論：「中間運算式裡沒有乘號的地方不該加上去！」，就是這個步驟讓整個式子的邏輯呈現大逆轉。



:::::::::::::



回到原始的狀態，我認為這裡正確的推導應該為：

   6÷2X
= 6÷2(A+B)
= 6÷(2A+2B)

搞清楚以後，把 A=1, B=2 代進式子裡，很明顯的答案大家都算得出來了！

   6÷2X
= 6÷2(A+B)
= 6÷(2A+2B)
= 6÷(2×1+2×2)
= 6÷(2+4)
= 6÷6
=1

這時候 1 這個數字，才是完整代數處理後的真正答案。而千萬記得 2X 和 2×X 在整個式子裡是完全不一樣的思考！硬要連結上的話，只能試著解說為 6÷2X = 6÷(2×X) 而這式子右邊的括號千萬不能省略。

相信設定一大堆代數與數理邏輯已經讓人頭昏眼花，但也就是因為這些讓人昏頭的代數解析過程，讓許多的生活數學問題能真正被解決。


這時候有人又進一步問起 6÷2X 為什麼一定要等於 3/X 這個分數？明明可以等於 3X 的呀！

如果它要等於 3X，那麼請寫成 (6÷2)X，代表括號裡的運算結果是 X 的係數。要不然 6÷2X 永遠不會有答案了！因為又可以等於 3/X 、同時又可以等於 3X，這樣的世界太可怕啦！

還有一個重點， 6÷2X 在電腦上可以寫成 6/2X 它和 (6/2)X 完全不同哦！前者唸起來可以是「六除以二X」或是「二X分之六」，而後者唸起來是「二除以六的X」或是「二分之六的X」，差別很大喔！

所有的運算符號裡，就這個「÷」除號很特別，若有人真要更深入地再問 6÷2X 和 6×2X 到底哪裡不同？這是另外一個課題，就別再拉進來做更多麻煩的混淆囉！有空的時候再另開一個乘號才能有的特異功能、而除號有天生缺陷的故事來說說囉！不過這問題不應該來問我吧@_@....... 大家的國中、國小數學老師跑哪兒去啦？(誤)



---2011-05-07 update ---

E ÷ X(A+B) 這樣的形式，相信比較少人會誤會這式子的意思是 (E ÷ X)(A+B)，而會解讀成 E ÷ [X(A+B)]。而且習慣上想到邏輯是 E ÷ X(A+B) 的式子，我們通常會改寫為 E × { 1 / [ X ( A+B ) ] }，不會出現除號這個運算符號。

但是今天都換成數字後，E=6, X=2, A=1, B=2 ， 6 ÷ 2(1+2) ，竟然會扯出這麼多的想法與觀點。反過來想想，我覺得這是件好事，至少大家都動腦了，都更瞭解數學一點 (看起來啦)。


沒有錯！我是答案 1 這一派的。因為我算出來是 1 呀！哈哈哈！但我不反對別人還是認為這題答案還是 9。邏輯上的正確答案、和情感上的正確答案，本來就很有可能是兩回事啊。




=== 留檔 ===

這裡截圖留證！





新聞裡面的專家點名時間！你們是被記者害到呢？還是要多想一下？

面對這些似是而非的答案，我只能說：帥啦！老皮！(有看百戰天龍、馬蓋先的才知道在帥啥)


「專長數學的國立台北教育大學資訊科學系教授王富祥表示，小括號內的1+2先算，之後算式變成6÷2×3，依算式左至右計算，答案是9。」
台北教育大學
資訊科學系
王富祥教授

「成功大學前數學系副教授郭堃煌說，此數學題題意不清，才造成答案有爭議。」
成功大學
數學系
郭堃煌 副教授

「北市胡適國小數學教師陳明仁說，此題屬四則運算，是小學五、六年級的學習範圍，四則運算的規則是「先乘除、後加減，有括號先算」，但乘和除位階相同，在算式中若同時出現，就要依由左至右規則來運算，但很多學生因邏輯不清，常敗在這類問題上。」
台北市胡適國小
陳明仁 數學教師

「北市五常國中數學教師莊志明說，這題會出錯，可能是學生在答題時只記得「先乘除，後加減」，忽略了「由左至右」的運算規則，未來數學基礎教育有必要加強運算邏輯。」
台北市五常國中
莊志明 數學教師

「教育部國教司長黃子騰表示，這題數學不難，但做錯的人這麼多是一種警訊，不排除是學生做的題目太少或觀念不夠清楚，將針對此做檢討。」
教育部國教司
黃子騰司長


除了王富祥教授的語句裡有出現明顯的「九為答案」之外，其他人的答案也還是「九」嗎？

郭堃煌教授提出來的題意不清的不清倒底是哪裡不清，我也很想知道其中詳細的論述。可是新聞裡沒說、報紙裡沒寫。(囧)

蘋果日報裡「正解???」的算式，還是沒有解決 2(1+2) ，只是把它變成 2(3) 而以！最好這樣能服人啦！


華視新聞報導 update 2011-05-07